Question

如图所示、△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，D在AB上．
（1）求证：△AOC≌△BOD；
（2）若AD=1，BD=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）因为∠AOB=∠COD=90°，由等量代换可得∠DOB=∠AOC，又因为△AOB和△COD均为等腰直角三角形，所以OC=OD，OA=OB，则△AOC≌△BOD；
（2）由（1）可知△AOC≌△BOD，所以AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，由等量代换求得∠CAB=90°，则CD=

AC2+AD2

．

解答：（1）证明：∵∠DOB=90°-∠AOD，∠AOC=90°-∠AOD，
∴∠DOB=∠AOC，
又∵OC=OD，OA=OB，
在△AOC和△BOD中，

OC=OD ∠DOB=∠AOC OA=OB

∴△AOC≌△BOD（SAS）；

（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴AC=BD=2，∠CAO=∠DBO=45°，
∴∠CAB=∠CAO+∠BAO=90°，
∴CD=

AC2+AD2

=

22+12

=

5

．

点评：此题为全等三角形判定的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力．