【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C,顶点是D.
(1)求抛物线的表达式和顶点D的坐标;
(2)在x轴上取点F,在抛物线上取点E,使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,求点E的坐标;
(3)将此抛物线沿着过点(0,2)且垂直于y轴的直线翻折,E为所得新抛物线x轴上方一动点,过E作x轴的垂线,交x轴于G,交直线l:y=-x-1于点F,以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN,求弦MN长度的最大值.
【答案】(1)抛物线的表达式为:y=x2-4x+3;D(2,-1);(2)点E的坐标为(2+,2)或(2-,2)或(2+,4)或(2-,4);(3)MN的最大值为.
【解析】
(1)利用待定系数法确定函数解析式;
(2)分当CD为平行四边形的对角线、平行四边形的一条边,两种情况求解即可;
(3)则新抛物线的表达式为:y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1.设点E的坐标为(x,-x2+4x+1),则点F(x,-x-1),所以EF=-x2+4x+1-(-x-1)=-x2+x+2.设直线y=-x-1与x轴交于点Q.通过锐角三角函数定义得到MN=EFcos∠QFG=(-x2+x+2),利用配方法求得该函数值的最大值.
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点A(1,0),B(3,0),
∴.
解得.
抛物线的表达式为:y=x2-4x+3;
(2)如图1,当CD为平行四边形的对角线时,
设点E的坐标为(x,x2-4x+3),
则CD中点的坐标为(1,1),该点也为EF的中点.
即:x2-4x+3=2×1,解得:x=2±,
E的坐标为(2+,2)或(2-,2);
2,当CD为平行四边形的一条边时,
设点F坐标为(m,0),
点D向左平移2个单位、向上平移4个单位,得到点C,
同样点F向左平移2个单位、向上平移4个单位,得到点E(m-2,4),
将点E坐标代入二次函数表达式并解得:m=4±,
则点E(2+,4)或(2-,4);
故点E的坐标为(2+,2)或(2-,2)或(2+,4)或(2-,4);
(3)抛物线沿着过点(0,2)且垂直与y轴的直线翻折后,顶点坐标为(2,5),
则新抛物线的表达式为:y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1.
设点E的坐标为(x,-x2+4x+1),则点F(x,-x-1),
EF=-x2+4x+1-(-x-1)=-x2+x+2.
设直线y=-x-1与x轴交于点Q.
MN=EFcos∠QFG=(-x2+x+2)=-(x-)2+.
由二次函数性质可知,MN的最大值为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.
(1)证明:四边形ADCE为菱形.
(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ADBC内接于⊙O,AD平分∠EDC,AE∥BC交直线BD于E.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若CD为直径,tan∠ADE=2,求sin∠BDC的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知一次函数与反比例函数的图象在第一、第三象限分别交于,两点,直线与轴,轴分别交于两点.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)比较大小: (填“>”或“<”或“=”);
(3)直接写出时的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
(1)求作∠ABC的平分线,分别交AD,AC于P,Q两点;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的基础上,过点P画PE∥AC交BC边于E,联结EQ,则四边形APEQ是什么特殊四边形?证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了解八年级男生“立定跳远”成绩的情况,随机选取该年级部分男生进行测试,以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.
成绩等级 | 频数(人) | 频率 |
优秀 | 15 | 0.3 |
良好 | ||
及格 | ||
不及格 | 5 |
根据以上信息,解答下列问题
(1)被测试男生中,成绩等级为“优秀”的男生人数为 人,成绩等级为“及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(2)被测试男生的总人数为 人,成绩等级为“不及格”的男生人数占被测试男生总人数的百分比为 %;
(3)若该校八年级共有180名男生,根据调查结果,估计该校八年级男生成绩等级为“良好”的学生人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将沿着过的中点的直线折叠,使点落在边上的处,称为第一次操作,折痕到的距离为;还原纸片后,再将沿着过的中点的直线折叠,使点落在边上的处,称为第二次操作,折痕到的距离记为;按上述方法不断操作下去……经过第次操作后得到折痕,到的距离记为.若,则的值为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E。若DE=1,则BC的长为( )
A.2+B.C.D.3
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某政府工作报告中强调,2019年着重推进乡村振兴战略,做优做响湘莲等特色农产品品牌.小亮调查了一家湘潭特产店两种湘莲礼盒一个月的销售情况,A种湘莲礼盒进价72元/盒,售价120元/盒,B种湘莲礼盒进价40元/盒,售价80元/盒,这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元,平均每天的总利润为1280元.
(1)求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒?
(2)小亮调査发现,种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒.若种湘莲礼盒的售价和销量不变,当种湘莲礼盒降价多少元/盒时,这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大,最大是多少元?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com