Question

4．在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA=8，OC=4，连接AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①．

（1）求点D的坐标和AD所在直线的函数关系式；
（2）⊙M的圆心M始终在直线AC上（点A除外），且⊙M始终与x轴相切，如图②．
①求证：⊙M与直线AD相切；
②圆心M在直线AC上运动，在运动过程中，能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心M的坐标；如果不能相切，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设CE=t，由于矩形OABC对折，OA=OC=4，从而可知OE=8-t，由勾股定理可解得：t的值，由易证CD=CE，从而可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
（2）①由（1）可知：DE是AC的垂直平分线，从而可证明AC平分∠OAD，从而可证明⊙M与直线AD相切；
②如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径，由①可知M（8-2r，r）所以只需使8-2r=r，从而可求出r的值．

解答 解：（1）设CE=t，
∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），OA=8，OC=4
∴CE=AE=t，∠AED=∠CED，
∴OE=OA-AE=8-t，
在Rt△OCE中，∵OE²+OC²=CE²，
∴4²+（8-t）²=t²，
解得t=5，
即CE=AE=5
∵BC∥OA，
∴∠CDE=∠AED，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=CE=5．
∴D（5，4），
设直线AD的解析式 为y=kx+b，
将A（8，0）、D（5，4）代入解析式可得$\left\{\begin{array}{l}8k+b=0\\ 5k+b=4\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{4}{3}\\ b=\frac{32}{3}\end{array}\right.$
AD所在直线的函数关系式为$y=-\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}$．
（2）①∵四边形OABC为矩形，
∴BC∥OA，
∴∠DCA=∠CAO，
又∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），
∴DE为AC的垂直平分线
∴CD=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠DAO，
∴AC上的点到直线AO和直线AD的距离相等，
∴M点到直线AO和直线AD的距离相等，
∵⊙M始终与x轴相切，
∴M点到直线AO的距离为半径r，
∴M点到直线AD的距离也为半径r，
∴直线AD与⊙M相切；
②⊙M在直线AC上运动，在运动过程中，能与y轴也相切．
如果⊙M与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径，
由①可知M（8-2r，r）所以只需使8-2r=r，
即当r为$\frac{8}{3}$时，⊙M与x轴、y轴和直线AD都相切，
∴M点的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）

点评 本题考查圆的综合问题，涉及矩形的性质，切线的判定，待定系数法求解析式，解方程，勾股定理等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．