Question

如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为（-2，2）．
（1）如图（1），在△ABO为等腰直角三角形，求B点坐标．
（2）如图（1），在（1）的条件下，分别以AB和OB为边作等边△ABC和等边△OBD，连结OC，求∠COB的度数．
（3）如图（2），过点A作AM⊥y轴于点M，点E为x轴正半轴上一点，K为ME延长线上一点，以MK为直角边作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，过点A作AN⊥x轴交MJ于点N，连结EN．则①

AN+OE

NE

的值不变；②

AN-OE

NE

的值不变，其中有且只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并加以证明和求出其值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）作AE⊥OB于点E，由点A的坐标就可以求出OE的值，就可以求出OB的值而得出结论．
（2）由等腰直角三角形和等边三角形的性质就可以得出∠CAO的值，再由等腰三角形的性质就可以求出∠AOC的值，从而得出结论；
（3）在AN上取一点P，使AP=OE，证明△APM≌△OEM，就可以得出MP=ME，∠AMP=∠OME，由等腰直角三角形的性质就可以得出∠PMN=∠EMN，得出△PMN≌△EMN就可以得出结论．

解答：解：（1）如图1，作AE⊥OB于点E，
∴∠AEO=90°．
∵A（-2，2）．
∴OE=AE=2．
∵AB=AO，
∴BO=2EO=4．
∴B（-4，0）；
（2）∵△ABO为等腰直角三角形，
∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠CAO=150°，AC=AO，
∴∠ACO=∠AOC=15°，
∴∠COB=45°-15°=30°；
（3）

AN-OE

NE

的值不变
理由：如图2，在AN上取一点P，使AP=OE，
∵AM⊥y轴，AN⊥x轴，
∴∠AQO=∠AMO=90°．
∵∠MOQ=90°，
∴四边形AMOQ是矩形．
∵A（-2，2），
∴AQ=OQ=2，
∴四边形AMOQ是正方形，
∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，AM=OM．
在△APM和△OEM中，

AM=OM ∠A=∠MOE AP=OE

，
∴△APM≌△OEM（SAS），
∴MP=ME，∠AMP=∠OME．
∵∠AMP+∠PMO=90°，
∴∠OME+∠PMO=90°，
即∠PME=90°．
∵△MKJ等腰直角三角形，
∴∠JMK=45°，
∴∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠EMN．
在△PMN和△EMN中，

MP=ME ∠PMN=∠EMN MN=MN

，
∴△PMN≌△EMN（SAS），
∴PN=EN．
∵PN=AN-AP，
∴PN=AN-0E，
∴AN-OE=EN．
∴

AN-OE

NE

=1

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，正方形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质是关键．