Question

2．如图，梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于O，AB=8cm，AD=10cm，BC=6cm，一个动点E从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA方向移动，过E作EQ⊥AB，交直线AC于P，交直线BD于Q，以PQ为边向上作正方形PQNM，设正方形PQMN与△BOC，重叠部分的面积为s，点E的运动时间为t秒．
（1）求PQ经过O点时的运动时间t；
（2）求s与t的函数关系式，并求s的最大值；
（3）如图（2），若AB的中点为H，DK=1，过H作HT∥AD，交BD于T，交BK于G，求G在正方形PQNM内部时t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据△BOC∽△DOA，利用相似三角形对应高的比等于相似比，得到△BOC中BC边的高．从而得出点E的运动时间；
（2）分类讨论当点E在不同位置时，正方形PQMN与△BOC重叠部分的面积．
（3）根据△OGT∽△OAD，用t表示PQ，推知点G在正方形PQNM内部，从而确定点E从点H运动开始到点E与点A重合，点G都始终在正方形PQNM内部．

解答 解：（1）∵梯形ABCD中，BC∥AD，
∴∠CBO=∠ODA，∠BCO=∠OAD，
∴△BOC∽△DOA，
设PQ经过O点时的运动时间t，可得：
$\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}$=$\frac{t}{AB-t}$，
∴$\frac{t}{8-t}=\frac{6}{10}$，
解得：t=3；

（2）由题意可知：
当0＜BE＜PQ时，S=BE•PQ；
当BE=PQ时，S=BE²；
当3＞BE＞PQ时，S=PQ²；
当BE=0或3时，S=0，
∵△POQ∽△DOA，
∴$\frac{PQ}{10}=\frac{3-t}{8-3}$，PQ=6-2t，
∴s=$\left\{\begin{array}{l}{t（6-2t），t＜6-2t}\\{{t}^{2}，t=6-2t}\\{（6-2t）^{2}，6-2t＜t＜3}\\{0，t=0，3}\end{array}\right.$，
∴$s=\left\{\begin{array}{l}{-2{t}^{2}+6t，0＜t＜2}\\{{t}^{2}，t=2}\\{4{t}^{2}-24t+36，2＜t＜3}\\{0，t=0，3}\end{array}\right.$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，s取最大值，最大值为4.5；

（3）∵H为AB中点，
∴BH=HA=4，
∴当t=4时，PQ与GT重合，
当E运动到点A时，t=8，PQ=10＞AB，
∴MN不可能与GT重合，
又∵$\frac{PQ}{10}=\frac{t-3}{8-3}$，即PQ=2t-6＞t-3，
∴当点E从点H开始运动时，点G始终在正方形PQNM内部，
∴当G在正方形PQNM内部时，4＜t＜8．

点评 本题归类与四边形的综合题，运用了相似三角形的判定与性质，梯形的性质与正方形的性质，解决本题的关键是掌握点E的运动轨迹．