Question

函数y=

x2+2x+2

+

x2-4x+13

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：无理函数的最值

专题：计算题

分析：根据函数的特征，对其适当变形为：y=

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+12

+

(x-2)2+32

，可得其几何意义为：：在直角坐标系中，函数值为x轴上的点（x，0）与点A（-1，1），B（2，-3）的距离之和，然后运用图形的直观性来处理．

解答：解：∵y=

x2+2x+2

+

x2-4x+13

=

(x+1)2+12

+

(x-2)2+32

，
∴其几何意义为：在直角坐标系中，函数值为x轴上的点（x，0）与点A（-1，1），B（2，-3）的距离之和，
如图所示：y≥|AB|，
即当点X位于AB与x轴的交点时，y最小，
最小值为：|AB|=

(-1-2)2+[1-(-3)]2

=5．
故答案为：5．

点评：此题考查了无理函数的最值问题．此题难度较大，注意根据函数的特征，对其适当变形，能利用其几何意义求解是解此题的关键．