Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，n），以点B为直角顶点，点C在第二象限内，作等腰直角△ABC．

（1）点C的坐标为 （用字母n表示）

（2）如果△ABC的面积为5.5，求n的值；

（3）在（2）的条件下，坐标平面内是否存在一点M，使以点M、A、B为顶点组成的三角形与△ABC全等？如果存在画出符合要求的图形，求出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）(n,n+2)；（2）n= ；（3）M (,2);M (2,2);M (2,2).

【解析】

（1）证明△ABO≌△BCH，得出CH=OB=n，BH=AO=2，即可得出结果；

（2）根据题意列出方程，解方程即可；

（3）分情况讨论：当B为直角顶点时，作M ⊥y轴于E；

当A为直角顶点时，分两种情况：①M 在第二象限时，作MF⊥x轴于F；②M 在第四象限时，作M G⊥x轴于G；根据（1）的结果容易求出M的坐标．

(1)过点C作y轴的垂线CH,垂足为H,如图所示：

则∠CHB=90°.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

又∵∠HCB+∠HBC=∠HBC+∠ABO=90°，

∴∠HCB =∠ABO.

在△ABO和△BCH中,

∴△ABO≌△BCH(AAS)，

∴CH=OB=n，BH=AO=2，

点C的坐标是(n,n+2)；

(2)∵S△ABC=S梯形HCAOS△CHBS△ABO,

∴5.5= (n+2) 2n,解得：n= (负值已舍)，

(3)存在;如图所示：根据题意得M只能为锐角顶点；

当B为直角顶点时,作M⊥y轴于E，

由(1)得,EM=OB=，BE=OA=2，

∴OE=2，

∴M1(,2)；

当A为直角顶点时，分两种情况：

M在第二象限时,作MF⊥x轴于F，

由(1)得：MF=2,AF=，

∴OF=+2，

∴M (2,2)；

M在第四象限时,作MG⊥x轴于G，

由(1)得：MG=2,AG=，

∴OG=2,∴M (2,2)；

综上所述：点M的坐标为M (,2);M (2,2);M (2,2).