Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

4

3

x+8分别与x轴交于点A，与y轴交于点B，∠OAB的平分线交y轴于点E，点C在线段AB上，以CA为直径的⊙D经过点E．
（1）判断⊙D与y轴的位置关系，并说明理由；
（2）求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题须先作出辅助线连接ED，再证出ED⊥OB即可．
（2）本题须设点C的坐标为（m，n），再解直角三角形得出m、n的值即可求出结果．

解答：解：（1）相切，连接ED，
∵∠OAB的平分线交y轴于点E，
∴∠DAE=∠EAO．
∵∠DEA=∠DAE，
∴∠DEA=∠DAE=∠EAO，
所以ED∥OA，
所以ED⊥OB；

（2）做CM⊥BO，CF⊥AO，
易得AB=10．设C（m，n），ED=R，
则DE⊥BO，
∴ED∥AO，
△BED∽△BOA，

DE

AO

=

BD

AB

，

R

6

=

10-R

10

，
解得：R=

15

4

，
∴△AFC∽△AOB，
∴

CF

BO

=

AC

AB

，
∴

CF

8

=

7.5

10

，
解得：CF=6，
利用勾股定理可求出AF=4.5，
∴OF=1.5，
所以C(

3

2

，6)．

点评：本题主要考查了一次函数的性质，解题时要注意与圆的性质相结合．