Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）猜一猜，MN与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）如果∠BCD=45°，BD=2，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）在直角△ABC中，中线BM=

1

2

AC；在直角△ADC中，DM=

1

2

AC；在△BMD中，N是中点，所以，根据这些条件很容易推出MN⊥BD；
（2）在三角形中，一个内角的补角等于另外两个内角的和，根据三角形的这一性质，求得∠BMD=2∠BAD=90°，所以MN=

1

2

BD．

解答：解：（1）猜想MN⊥BD．
证明：连接BM，DM，∵∠ABC=90°，
AM=MC，
∴BM=

1

2

AC，
同理DM=

1

2

AC，
∴BM=DM，
∵BN=ND，
∴MN⊥BD

（2）∵AM=BM，
∴∠BMC=∠MAB+∠ABM=2∠BAM，
同理∠CMD=2∠CAD，
∴∠BMD=2∠BCD=90°，
∵BM=MD，
∴△BMD是等腰直角三角形（9分），
∴MN=

1

2

BD=1．

点评：本题综合考查了直角三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；在一个三角形中，只要有两个边相等，那么这个三角形就是等腰三角形．