Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，下列结论正确的有（ ）
①AD=BD=BC；
②△BCD∽△ABC；
③AD2=ACDC；
④点D是AC的黄金分割点．

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①由AB=AC，∠A=36°，得∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°=∠A，
∴AD=BD，
∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C，
∴BC=BD，
∴BC=BD=AD，
∴①正确；
②∵∠A=∠DBC，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ABC，
∴②正确；
③∵△BCD∽△ACB，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=CDAC，
∵AD=BD=BC，AD2=CDAC，
∴③正确；
④设AD=x，AC=AB=1，CD=AC﹣AD=1﹣x，
由AD2=CDAC，得x2=（1﹣x），
解得x=± ﹣1（舍去负值），
∴AD= ，
∴④正确．
正确的有4个．
故选D．
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和黄金分割的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=0.618AB才能正确解答此题．