分析 (1)连接OE,利用角平分线的定义和圆的性质可得∠OBE=∠OEB=∠EBD,可证明OE∥BD,结合等腰三角形的性质可得AD⊥BD,可证得OE⊥AD,可证得AD为切线;
(2)利用(1)的结论,结合条件可求得∠AOE=30°,由(1)可知OE∥BD,设半径为r,则OB=OE=r,AO=4-r,在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD,由平行线分线段成比例可得到关于r的方程,可求得圆的半径,利用弧长公式可求得$\widehat{EF}$.
解答 (1)证明:
如图,连接OE,
∵OB=OE,
∴∠OBE=∠OEB,
∵BE平分∠ABC,
∴∠OBE=∠EBD,
∴∠OEB=∠EBD,
∴OE∥BD,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,
∴∠OEA=∠BDA=90°,
∴AD是⊙O的切线;
(2)解:
∵AB=AC=4,∠C=∠B=30°,
∴BD=2$\sqrt{3}$,
设圆的半径为r,则BO=OE=r,AO=AC-OB=4-r,
∵OE∥BD,
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$,即$\frac{4-r}{4}$=$\frac{r}{2\sqrt{3}}$,解得r=8$\sqrt{3}$-12,
∴${l}_{\widehat{EF}}$=$\frac{30π×(8\sqrt{3}-12)}{180}$=($\frac{4\sqrt{3}}{3}$-2)π.
点评 本题主要考查切线的判定和弧长公式,掌握切线的两种判定方法是解题的关键,即当有切点时,连接圆心和切点证明垂直,没有切点时,过圆心作距离证明距离等于半径.
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