【题目】如图,AD是Rt△ABC斜边BC上的高.
(1)尺规作图:作∠C的平分线,交AB于点E,交AD于点F(不写作法,必须保留作图痕迹,标上应有的字母);
(2)在(1)的条件下,过F画BC的平行线交AC于点H,线段FH与线段CH的数量关系如何?请予以证明;
(3)在(2)的条件下,连结DEDH.求证:ED⊥HD.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】分析:
(1)按作角的平分线的尺规作图方法作出相应的图形,并标上相应的字母即可;
(2)如图2,由已知条件易得∠1=∠2,∠1=∠3,从而可得∠2=∠3,由此即可得到FH=CH;
(3)如图3,由已知条件易证∠4=∠5,从而可得AE=AF,由FH∥CD可得△AFH∽△ADC,由此可得结合FH=CH,AE=AF可得,再证∠EAD=∠HCD,即可得到△EAD∽△HCD,从而可得∠7=∠8,结合AD⊥BC即可得到∠EDH=90°,由此即可得到DE⊥DH.
详解:
(1)如下图1所示,线段CE为所求的△ABC的角平分线;
(2)FH=CH,理由如下:
如图2,∵FH∥BC,
∴∠1=∠3,
∵CE平分∠ACB,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴FH=CH(等角对等边);
(3)如图3,∵EA⊥CA,
∴∠EAC=90°,
∴∠2+∠5=90°,
∵AD⊥DC,
∴∠ADC=90°,
∴∠1+∠6=90°,
∴∠2+∠5=∠1+∠6,
又∵∠1=∠2,
∴∠5=∠6,
∵∠6=∠4,
∴∠5=∠4,
∴AE=AF(等角对等边),
∵FH∥BC,
∴AFH∽△ADC,
∴=,
∵FH=CH,
∴得=,
∵∠EAD+∠DAC=90°,∠HCD+∠DAC=90°,
∴∠EAD=∠HCD,
∴△EAD∽△HCD(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),
∴∠7=∠8,
∵∠8+∠HDA=90°,
∴∠7+∠HDA=90°,即∠EDH=90°,
∴ED⊥HD
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【题目】如图,已知在△ADE中,∠ADE=90°,点B是AE的中点,过点D作DC∥AE,DC=AB,连结BD、CE.
(1)求证:四边形BDCE是菱形;
(2)若AD=8,BD=6,求菱形BDCE的面积.
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【题目】△ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA,0<∠PBC<180 ,DB平分∠PBC,且DB=DA.
(1)当BP与BA重合时(如图1),求∠BPD的度数;
(2)当BP在∠ABC的内部时(如图2),求∠BPD的度数;
(3)当BP在∠ABC的外部时,请你直接写出∠BPD的度数.
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【题目】如图,在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC和△DEF(顶点 为网格线的交点),以及经过格点的直线m.
(1)画出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;
(2)将△DEF先向左平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度,画出平移后得到的△D1E1F1;
(3)求∠A+∠E= ________°.
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【题目】如图,△ABC和△DEC都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,E在线段AC上,连接AD, BE的延长线交AD于F.
(1)猜想线段BE、AD的数量关系和位置关系:_______________(不必证明);
(2)当点E为△ABC内部一点时,使点D和点E分别在AC的两侧,其它条件不变.
①请你在图2中补全图形;
②(1)中结论成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=72°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△AMN的周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为_______
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连接BD,点是线段BD上一个动点(不与B、D重合),过点P作y轴的垂线,垂足为E,连接BE.
(1)求抛物线的解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PBE的面积为,求S与x的函数关系式,写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取得最大值时,过点P作x的垂线,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为P′,请直接写出P′点坐标,并判断点P′是否在该抛物线上.
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【题目】如图,△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,分别以AB、AC为对称轴,画出△ABD、△ACD的轴对称图形,D点的对称点为E、F,延长EB、FC相交于G点,得到正方形AEGF(AE=EG=GF=AF,∠EAF=∠E=∠F=∠G=90°).
(1) 若AD=6,BD=2,求CG的长.
(2) 设BG=a,CG=b,BC=c.
①AE=_______.(用a、b、c表示)
②利用正方形面积验证勾股定理.
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【题目】如图,在中,和的角平分线相交于点,过点作交于,交于,过点作于.下列五个结论:其中正确的有( )
(1);(2);(3)点到各边的距离都相等;(4)设,若,则;(5).( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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