Question

7．如图，点A在⊙O上，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，连接OP交⊙O于点D，作AB⊥OP于点C，交⊙O于点B，连接PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若PC=9，AB=6$\sqrt{3}$，
①求图中阴影部分的面积；
②若点E是⊙O上一点，连接AE，BE，当AE=6$\sqrt{2}$时，BE=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由PA切⊙O于点A得：∠PAO=90°，再证明△APO≌△BPO，所以∠PBO=∠PAO=90°，可得结论；
（2）①先根据垂径定理得：BC=3$\sqrt{3}$，根据勾股定理求圆的半径OB的长，利用三角函数得：∠COB=60°，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求S_△OPB和S_扇形DOB的值，最后利用面积差得结论；
②②分两种情况：
i）当点E在$\widehat{AFB}$上时，如图2，作辅助线，构建直角三角形和等腰直角三角形，利用同弧所对的圆周角与半径及勾股定理分别计算EH和BH的长，相加即可得BE的长；
ii）当点E在劣弧$\widehat{AB}$上时，如图3，作辅助线，同理计算EH和BH的长，最后利用勾股定理求BE的长．

解答 （1）证明：如图1，连接OB，
∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∴AC=BC，
∴OP垂直平分AB，
∴AP=BP，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO，
∵PA切⊙O于点A，
∴AP⊥OA，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥BP，
又∵点B在⊙O上，
∴PB与⊙O相切于点B；
（2）①解：如图1，∵OP⊥AB，OP经过圆心O，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵∠PBO=∠BCO=90°，
∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°，
∴∠PBC=∠BOC，
∴△PBC∽△BOC，
∴$\frac{BC}{OC}=\frac{PC}{BC}$
∴OC=$\frac{BC×BC}{PC}$=$\frac{3\sqrt{3}×3\sqrt{3}}{9}$=3，
∴在Rt△OCB中，OB=$\sqrt{O{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，tan∠COB=$\frac{BC}{OC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠COB=60°，
∴S_△OPB=$\frac{1}{2}$×OP×BC=$\frac{1}{2}$×$（3+9）×3\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$，S_扇DOB=$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=6π，
∴S_阴影=S_△OPB-S_扇DOB=18$\sqrt{3}$-6π；
②分两种情况：
i）当点E在$\widehat{AFB}$上时，如图2，作直径AF，交⊙O于F，连接EF、EB，过O作OG⊥AE于G，过F作FH⊥EB于H，
∴EG=AG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×$6\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=30°，
∴∠BEF=∠OAB=30°，
Rt△OGE中，由①知：OA=6，
∴OG=$\sqrt{O{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴AG=OG，
∴△OGA是等腰直角三角形，
∴∠OAE=45°，
∴∠EBF=∠OAE=45°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴EF=AE=6$\sqrt{2}$，
Rt△EHF中，∠BEF=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$EF=3$\sqrt{2}$，
∴EH=$\sqrt{E{F}^{2}-F{H}^{2}}$=$\sqrt{（6\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{6}$，
Rt△BHF中，∵∠EBF=45°，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴BH=FH=3$\sqrt{2}$，
∴BE=3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{6}$，
ii）当点E在劣弧$\widehat{AB}$上时，如图3，
作直径AF，并⊙O于F，连接OB、OE、BF，过B作BH⊥OE于H，
∵AF为⊙O的直径，
∴∠ABF=90°，
∵∠BAF=30°，
∴∠F=∠BOF=60°，
∵OA=OE=6，AE=6$\sqrt{2}$，
∴OA²+OE²=AE²，
∴∠AOE=90°，
∴∠EOF=90°，
∴∠EOB=30°，
Rt△OHB中，BH=$\frac{1}{2}$OB=3，
∴OH=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴EH=6-3$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{H}^{2}+E{H}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（6-3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{72-36\sqrt{3}}$=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$；
综上所述，BE的长为3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$或3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$；
故答案为：3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$ 或3$\sqrt{6}$+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定、垂径定理、三角函数、扇形的面积、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第2小问构建辅助线是关键，同时要采用分类讨论的思想．