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    （2012•潮阳区模拟）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．
    （1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
    （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．
    （3）在（2）的情况下，当AE∥BC时，求AM的值．
    分析：（1）猜想BG=AE，在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；
    （2）（1）中的结论仍然成立．连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；
    （3））因为△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，利用“三线合一”可证明BD=CD，进而证明△BDM≌△ADN，所以BM=AN，利用勾股定理求出AE，再通过证明△ADM∽△AEN，
    利用相似三角形的性质得到关于AM的比例式，把已知数据代入求出AM的值即可．
    解答：（1）猜想BG=AE，
    证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
    ∴BD=DA，
    在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
    在Rt△BDG和Rt△ADE中，
    BD=DA
    ∠GDB=∠EDA
    GD=DE

    ∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
    ∴BG=AE；

    （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
    ∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
    ∴AD=BD，AD⊥BC，
    ∴∠ADG+∠GDB=90°，
    ∵EFGD为正方形，
    ∴DE=DG，且∠GDE=90°，
    ∴∠ADG+∠ADE=90°，
    ∴∠BDG=∠ADE，
    在△BDG和△AED中，
    BD=AD
    ∠BDG=∠ADE
    GD=DE
    ，
    ∴△BDG≌△ADE（SAS），
    ∴BG=AE；

    （3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
    ∴∠5=∠6=∠7=45°，
    ∵BD=AD，∠3=∠2，
    ∴△BDM≌△ADN，
    ∴BM=AN，
    ∵AB=BC•cos∠7=2cos45°=
    		2
    ，
    ∴AN=BM=AB-AM=
    		2
    -AM，
    ∵AE∥BC，
    ∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
    ∵AD=
    1
    2
    BC=
    1
    2
    ×1=1，DE=BC=2，
    ∴AE=
    		DE2-AD2
    =
    		3
    ，
    ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
    ∴∠1=∠4，
    ∵∠8=90°-∠6=45°，
    ∴∠5=∠8，
    ∴△ADM∽△AEN，
    ∴
    AD
    AE
    =
    AM
    AN
    ，
    ∴
    1
    		3
    =
    AM
    		2
    -AM
    ，
    ∴AM=
    		6
    -
    		2
    2
    ．
    点评：本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，题目的综合性很强，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
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