Question

16．在△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，沿直线AD将△ADB折叠得到△ADE，AE交BC于点F．

①如图1，若∠ADB=112°，则∠EDC=44°；
②如图2，若∠BAC=90°，∠EDC=∠DAB，接BE，判断△ABE的形状，并说明理由；③如图3．在②的条件下，连接CE，若BC=4，求△ACE的面积？

Answer 1

分析 ①根据翻折变换的性质得到∠ADB=∠ADE，根据邻补角的概念计算即可；
②设∠EDC=∠DAB=x，用x表示出∠ADB和∠ADE，根据翻折变换的性质列出方程，解方程得到答案；
③作CH⊥AE于H，根据等腰直角三角形的性质求出AB、AC的长，根据直角三角形的性质求出CH的长，根据三角形面积公式计算即可．

解答 解：①∵∠ADB=112°，
∴∠ADE=112°，∠ADC=180°-112°=68°，
∴∠EDC=∠ADE-∠ADC=44°，
故答案为：44°；
②设∠EDC=∠DAB=x，
则∠ADB=180°-45°-x，
∠ADE=45°+x+x，
∴180°-45°-x=45°+x+x，
解得，x=30°，
∵∠EDC=30°，DB=DE，
∴∠DBE=15°，
∴∠ABE=60°，又AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；
③作CH⊥AE于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=4，
∴AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∵∠EAC=90°-60°=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴△ACE的面积=$\frac{1}{2}$×AE×CH=2．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，找准翻折变换中对应边、对应角是解题的关键，注意相关定理、性质的灵活运用．