已知:关于x的一元二次方程mx2-x+3m+3=0 ．(1)求证:方程有两个不相等的实数根,(2)设方程的两个实数根分别为x1.x2(其中x1＞x2).若y是关于m的函数.且y=x1-3x2.求这个函数的解析式,中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折.图象的其余部分保持不变.得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答:当关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：关于x的一元二次方程mx²-（4m+1）x+3m+3=0 （m＞1）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＞x₂），若y是关于m的函数，且y=x₁-3x₂，求这个函数的解析式；
（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围．

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）列式表示出根的判别式△，再根据△＞0，方程有两个不相等的实数根证明；
（2）利用求根公式法求出x₁、x₂，然后代入关系式整理即可得解；
（3）作出函数图象，然后求出m=2时的函数值与以及m=1时的翻折图象的对应点的坐标，再代入直线解析式求出b值，然后结合图形写出b的取值范围即可．

解答：（1）证明：△=（4m+1）²-4m（3m+3）=4m²-4m+1=（2m-1）²，
∵m＞1，
∴（2m-1）²＞0，
∴方程有两个不等实根；

（2）解：x=

4m+1±

(2m-1)2

，
∴两根分别为

4m+1+2m-1

=3，

4m+1-2m+1

=1+

，
∵m＞1，
∴0＜

＜1，
∴1＜1+

＜2，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=3，x₂=1+

，
∴y=x₁-3x₂，
=3-3（1+

），
=-

，
所以，这个函数解析式为y=-

（m＞1）；

（3）解：作出函数y=-

（m＞1）的图象，并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折，所得新图形如图所示，

m=2时，y=-

，
m=1时，y=-

=-3，
∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后的两端点坐标为（3，-3），（2，-

），
当m=3时，2×3+b=-3，
解得b=-9，
当m=2时，2×2+b=-

，
解得b=-

，
所以，此图象有两个公共点时，b的取值范围-9＜b＜-

．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了根的判别式，求根公式法解一元二次方程，一次函数与反比例函数交点问题，难点在于（3）确定出翻折部分的两个端点的坐标以及有两个交点时的b的取值范围，作出图形更形象直观．

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