Question

17．已知∠MON=90°，线段AB长为6cm，AB两端分别在OM、ON上滑动，以AB为边作正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点P，连结OC．
（1）求证：无论点A、点B怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（2）若OP=4$\sqrt{2}$，求OA的长．
（3）求OC的最大值（提示：取AB的中点Q，连接CQ、OQ，运用两点之间，线段最短）

Answer 1

分析 （1）作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，根据AAS判定△PAE≌△PBF，即可得出PE=PF，进而得到点P在∠AOB的平分线上；
（2）根据四边形OEPF是正方形，OP=4$\sqrt{2}$，可得OE=PE=4，再根据Rt△APB中，AB=6，可得PA=3$\sqrt{2}$，进而得到Rt△AEP中，AE=$\sqrt{2}$，据此可得OA的长；
（3）取AB的中点Q，连接OQ，CQ，OC，根据AB长度不变，BC长度不变，可得Rt△AOB中，OQ=$\frac{1}{2}$AB=3，Rt△BCQ中，CQ=3$\sqrt{5}$，再根据OQ+CQ≥OC，可得当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，进而得到OC最大值=OQ+QC=3+3$\sqrt{5}$．

解答 解：（1）如图，作PE⊥OM、PF⊥ON垂足分别为E、F，则
∠PEA=∠PFB=90°=∠EOF，
∴∠EPF=90°，
∵ABCD是正方形，
∴PA=PB，且∠APB=90°，
∴∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE，
即∠APE=∠BPF，
在△AEP和△BFP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEA=∠PFB}\\{∠APE=∠BPF}\\{PA=PB}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PBF（AAS），
∴PE=PF，
即点P在∠AOB的平分线上；

（2）∵四边形OEPF是正方形，OP=4$\sqrt{2}$，
∴OE=PE=4，
又∵Rt△APB中，AB=6，
∴PA=3$\sqrt{2}$，
∴Rt△AEP中，AE=$\sqrt{A{P}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴OA=OE+AE=4+$\sqrt{2}$或OA=OE-AE=4-$\sqrt{2}$；

（3）如图，取AB的中点Q，连接OQ，CQ，OC，
∵AB长度不变，BC长度不变，
∴Rt△AOB中，OQ=$\frac{1}{2}$AB=3，
Rt△BCQ中，CQ=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵OQ+CQ≥OC，
∴当O，C，Q三点共线时，OC有最大值，
OC最大值=OQ+QC=3+3$\sqrt{5}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据全等三角形的对应边相等得出结论．解题时注意灵活运用两点之间，线段最短．