Question

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，四边形EBCF是平行四边形，D为AC的中点．
求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析：根据平行四边形性质得出EF∥BC，CF∥AB，推出∠FCD=∠EAD，证△FCD≌△EAD，推出CF=AE，得出平行四边形AECF，求出EF⊥AC，即可得出四边形是菱形．

解答：证明：∵四边形EBCF是平行四边形，
∴EF∥BC，CF∥AB，
∴∠FCD=∠EAD，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在△FCD和△EAD中，

∠FCD=∠EAD CD=AD ∠FDC=∠EDA

，
∴△FCD≌△EAD（ASA），
∴CF=AE，
∵CF∥AB（即CF∥AE），
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，EF∥BC，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的综合运用．