Question

如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF．
（1）求证：AE=CF；
（2）G为CF延长线上一点，连接BG．若BG=5，BC=8，求CG的长．

Answer 1

分析：（1）由条件可以得出∠ABE=∠CBF，再根据等边三角形的性质就可以证明△BAE≌△BCF，从而可以得出AE=CF．
（2）作BH⊥CG于H，由第一问的结论可以得出∠BCF=∠BAD=30°，得出BH=4，由勾股定理就可以得出HC的值，在△GBH中由勾股定理可以得出GH的值，从而可以求出CG的值．

解答：（1）证明：∵△ABC、△BEF都是等边三角形，
∴AB=BC=AC，BE=EF=BF，∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠EBF=∠BEF=∠BFE=60°，
∴∠ABC-∠EBD=∠EBF-∠EBD，
∴∠ABE=∠CBF，
在△BAE和△BCF中

AB=BC ∠ABE=∠CBF BE=BF

，
∴△BAE≌△BCF，
∴AE=CF；

（2）解：作BH⊥CG于H，
∴∠BHC=∠BHG=90°
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=30°，
∵由（1）知△ABE≌△CBF，
∴∠BCF=∠BAD=30°，
∴BH=

1

2

BC=4，在Rt△BHC和Rt△GHB中，由勾股定理，得
∴HC=4

3

，GH=3，
∴CG=3+4

3

，
当G在G′时，在Rt△BHG′由勾股定理可以求出
G′H=3，
∴CG′=4

3

-3，
∴CG的值为：3+4

3

或4

3

-3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用．