Question

（2013年四川绵阳12分）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，﹣2），交x轴于A、B两点，其中A（﹣1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D．

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2），∴b=0，c=﹣2。

∵y=ax²+bx+c过点A（﹣1，0），∴0=a+0﹣2，a=2。

∴抛物线的解析式为y=2x²﹣2。

当y=0时，2x²﹣2=0，解得x=±1。

∴点B的坐标为（1，0）。

（2）设P（m，n），

∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

①若△OCB∽△DBP，则，即，解得。

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，）或（m，）。

②若△OCB∽△DPB，则，即，解得n=2m﹣2。

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件，

∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。

综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，），（m，），（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）。

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E，

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°，

∴∠DBP=∠QPE。

在△DBP与△EPQ中，∵，

∴△DBP≌△EPQ，∴BD=PE，DP=EQ。

分两种情况：

①当P（m，）时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），

∴，解得或（均不合题意舍去）。

②当P（m，2m﹣2）时，

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x²﹣2），

∴，解得或（均不合题意舍去）。

综上所述，不存在满足条件的点Q。

【解析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax²+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标。

（2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标。

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x²﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2m﹣2）。都根据BD=PE，DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标理性认识各式的关系，全等、相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，反证法的应用，分类思想的应用。