Question

14．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD=DE，AD=DC，∠ADB=∠EDC．
（1）如图1，若∠ACB=40°，求∠BAC的度数；
（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH=CH．

Answer 1

分析 （1）证明△ADB≌△CDE（SAS），得：∠BAD=∠ACB=40°，则∠BAC=80°；
（2）作辅助线，构建全等三角形，先利用△EFH≌△BFN（AAS），得：BN=EH，再证明BN=BM，继续证明△DEH≌△DBM，证明∠AMD=90°，所以∠AHD=90°，根据等腰三角形三线合一可得结论．

解答 解：（1）如图1，∵AD=DC，∠ACB=40°，
∴∠DAC=∠ACB=40°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=80°，
在△ADB和△CDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADB=∠EDC}\\{BD=ED}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴∠BAD=∠ACB=40°，
∴∠BAC=40°+40°=80°；

（2）如图2，过B作BN∥AC，交HF的延长线于N，直线HF交AB于M，连接DH、DM，
∴∠BNM=∠EHF，
∵BF=EF，∠BFN=∠EFH，
∴△EFH≌△BFN（AAS），
∴BN=EH，
由（1）得：∠BAD=∠DAC，
∵FH⊥AD，
∴∠AGF=∠AGH=90°，
∵AG=AG，
∴△AMG≌△AHG（ASA），
∴AH=AM，∠AHM=∠AMH，
∵∠AMH=∠BMN，
∴∠BNM=∠BMN，
∴BN=BM，
∵△ABD≌△CED，
∴∠ABD=∠CED，
∵BD=DE，
∴△DEH≌△DBM，
∴∠BMD=∠AHD，
∵AM=AH，
∠BAD=∠DAH，AD=AD，
∴△AMD≌△AHD，
∴∠AMD=∠AHD，
∴∠AMD=∠BMD，
∵∠AMD+∠BMD=180°，
∴∠AMD=90°，
∴∠AHD=90°，
∵AD=CD，
∴AH=CH．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、平行线的性质、三角形的外角定理，作辅助线，构建三角形全等是关键，第二问比较复杂，熟练掌握三角形全等的判定是关键．