Question

以[x]表x的整数部分，即不大于x的最大整数．例如[3.4]=3，[-3.4]=-4．方程9x²-8[x]=1的所有有理数根是

 

．

Answer 1

分析：由取整函数的性质得出8x≥8[x]=9x²-1，从得出不等式，进而得出不等式的解集，在分区间分析得出符合要求的取值．

解答：解：由[x]的定义，可得8x≥8[x]=9x²-1，
所以9x²-8x-1≤0，
（x-1）（9x+1）≤0，
解此不等式得：-

1

9

≤x≤1．
现把x的取值范围分成：2个小区间（分类）来进行求解．
（1）当-

1

9

≤x＜0时，没有符合要求的x的值；
（2）当0≤x＜1时，原方程为9x²=1，
解得x=±

1

3

，（x=-

1

3

不在-

1

9

≤x≤0范围内舍去）；
（3）当x=1时，原方程为9x²=9，
解得：x=1，
∴方程9x²-8[x]=1的所有有理数根是1，

1

3

．
故答案为：1，

1

3

．

点评：此题主要考查了取整函数的性质，得出9x²-8x-1≤0，的解集是难点，可以结合而此函图象判断出，利用数形结合解决数学问题是解题中经常用到的一种方法．