如图.矩形ABCD中.对角线AC与BD相交于点O.∠ACB=30°.将一块直角三角板的直角顶点P放在点O处.以点P为旋转中心转动三角板.并保证三角板的两直角边分别与边AB.BC所在的直线相交.交点分别为E.F．如图1.当点E是边AB中点时.易证$PE=\sqrt{3}PF$．(1)如图2.当点E在边AB上时.PE.PF有怎样的数量关系?证明你的结论,(2)如图3.当点E在AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在点O处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．如图1，当点E是边AB中点时，易证$PE=\sqrt{3}PF$．
（1）如图2，当点E在边AB上时，PE，PF有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）如图3，当点E在AB的延长线上时，且AP：PC=1：2，PE，PF有怎样的数量关系？证明你的结论．如果AP：PC=1：n，PE，PF又有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

分析（1）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明△PME∽△PNF，并利用已知条件，求得$\frac{PE}{PF}$的值；
（2）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明△APM∽△PCN，求得$\frac{PM}{PN}$的值；然后证明△PME∽△PNF，从而由$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PM}{PN}$求得$\frac{PE}{PF}$的值．

解答解：（1）如答图1，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN．

∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PM}{PN}$，
由已知得，$\frac{PM}{PN}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\sqrt{3}$；

（2）证明：如答图2，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，则PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB．

∵PM∥BC，PN∥AB，
∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN，
∴△APM∽△PCN，
∵AP：PC=1：2，
∴①$\frac{PM}{CN}$=$\frac{AP}{PC}=\frac{1}{2}$，得CN=2PM．
在Rt△PCN中，$\frac{PN}{CN}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
②当AP：PC=1：n时，
∴$\frac{PM}{CN}$=$\frac{PA}{PC}$=$\frac{1}{n}$，得CN=nPM．
在Rt△PCN中，$\frac{PN}{CN}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$，
∵PM⊥PN，PE⊥PF，
∴∠EPM=∠FPN，
又∵∠PME=∠PNF=90°，
∴△PME∽△PNF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{\sqrt{3}}{n}$．

点评本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、解直角三角形等知识点．本题三问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题．

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