Question

如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②

1

PA

=

1

PB

+

1

PC

；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（　　）

• A、3个
• B、2个
• C、1个
• D、0个

Answer 1

分析：根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；③正确．

解答：解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则

PA

PC

=

PB

PE

，

PA

PB

=

PC

PE

，

PA

PB

+

PA

PC

=

PC

PE

+

PB

PE

≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴

PA

PB

=

PC

PE

∴PA•PE=PB•PC，故③正确；
故选B．

点评：本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．