Question

（2012•北辰区一模）如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，点A、C分别在x轴、y轴上，点B（8，4），点P是BC的中点，点Q（x，0）
（0＜x＜8）是x轴上一动点，QM⊥OP，QN⊥AP，M、N为垂足，连接MN．
（1）四边形PMQN能否为正方形？若能，求出此时动点Q的坐标；若不能，说明理由；
（2）设三角形△MQN的面积为S₁，求S₁与x的函数关系式，并确定S₁的取值范围；
（3）如图（2），设点P关于x轴的对称为点D，△MDN的面积为S₂，求S₂与x的函数关系式，并确定S₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先可以证明△OPA为等腰直角三角形，可以得出四边形MQNP是矩形，当MQ=NQ时就是正方形，通过△OMQ≌△ANQ就可以求出OQ=AQ，Q是OA的中中点，从而得出Q的坐标；
（2）根据勾股定理表示出MQ和NQ的值，再根据三角形的面积公式就可以表示出S₁，然后将一般式化为顶点式就可以求出S₁的最大值，从而求出S₁的取值范围；
（3）连接DO、DA，得PODA是正方形．由轴对称的性质可以得出OD=AD，可以得出四边形PODA是正方形，就有S₂=S_PODA-S_△DOM-S_△DAN-S_△MPN，从而就可以得出结论．

解答：解：（1）能，此时点Q（4，0）．
理由：∵四边形ABCO是矩形，
∴AO=BC，AB=OC，∠A=∠B=∠C=∠AOC=90°．
∵B（8，4），
∴OA=BC=4，AB=OC=4．
∵P是BC的中点，
∴PC=PB=

1

2

BC=4，
∴OC=PC，PB=AB，
∴∠POC=∠PAB=45°．
∴∠POA=∠PAO=45°，
∴△APO是等腰直角三角形．
∴∠OPA=90°．OP=AP．
∴QM⊥OP，QN⊥AP，
∴∠PMQ=∠PNQ=∠OMQ=∠ANQ=90°，
∴四边形MQNP是矩形，△OMQ和△ANQ是等腰直角三角形．
∵四边形MQNP是正方形，
∴MQ=NQ=PM=PN．
∴OM=AN，
∵在△OMQ和△ANQ中，

OM=AN ∠OMQ=∠ANQ MQ=NQ

，
∴△OMQ≌△ANQ（SAS），
∴OQ=AQ．
∴Q（4，0）
∴Q（4，0）时四边形PMQN是正方形；

（2）如图1，∵Q（x，0），
∴OQ=x
∴AQ=8-x
∵△POA和△ANQ是等腰直角三角形，由勾股定理，得
∴QM=PN=

2

2

x，QN=AN=

2

2

(8-x)．
∵四边形PMQN是矩形，
∴∠MQN=90°
∴S1=

1

2

QM•QN=-

1

4

x2+2x．
∴S1=-

1

4

x2+2x=-

1

4

(x-4)2+4，
∴0＜S₁≤4；

（3）如图2，连接DO、DA，
∵△OPA和△ODA关于x轴对称，
∴△OPA≌△ODA，
∴OP=OD，PA=AD．
∵OP=AP，∠OPA=90°
∴得PODA是正方形．
∵S₂=S_PODA-S_△DOM-S_△DAN-S_△MPN，
∴S2=(4

2

)2-2x-2(8-x)-

1

4

x(8-x)
=

1

4

x2-2x+16
=

1

4

(x-4)2+12
∴12≤S₂＜16．
∴S₂与x的函数关系式为：S₂=

1

4

(x-4)2+12，S₂的取值范围是12≤S₂＜16．

点评：本题是一道四边形综合试题，考查了矩形的性质的运用，等腰直角三角形的判定即性质的运用，勾股定理的运用，轴对称的性质的运用，正方形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时灵活运用直角三角形的面积公式是关键．