Question

17、已知P为?ABCD内一点，O为AC与BD的交点，M、N分别为PB，PC的中点，Q为AN与DM的交点，
求证：（1）P，Q，O三点在一条直线上；
（2）PQ=2OQ．

Answer 1

分析：可先分别假设出各个交点，进而通过论证得出其都为三角形的重心，所以可得三点重合，又有重心的性质，第（2）问即可证明．

解答：证明：如原图，连PO，设PO与AN，DM分别交于点Q′，Q″．
在△PAC中，∵AO=OC，PN=NC，
∴Q′为重心，PQ′=2OQ′
在△PDB中，∵DO=BO，BM=MP，
∴Q″为重心，PQ″=2OQ″
这样Q′=Q″，并且Q′，Q″就是AN，DM的交点Q．
故P，Q，O在一条直线上，且PQ=2OQ．

点评：本题主要考查平行四边形的性质及重心的性质，能够熟练掌握．