Question

12．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，那么：
（1）当t为何值时，△AMN为等腰直角三角形？
（2）当t为何值时，以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？
（3）四边形AMCN的面积有什么特点？

Answer 1

分析 （1）先由运动，表示出AM，DN，AN，利用等腰三角形的性质得出AM=AN求出时间t，
（2）根据相似三角形的判定分两种情况讨论计算即可求出时间t，
（3）利用矩形，三角形的面积公式，最后借助不规则图形的面积用几个图形的面积的和与差即可求出四边形AMCN的面积是恒值为9．

解答 解：在矩形ABCD中，AD=BC=6，AD=AB=3，∠ADC=∠BAD=90°，
由运动知，AM=t，DN=2t，
∴AN=6-2t，
（1）∵△AMN为等腰直角三角形，
∴AM=AN，
∴t=6-2t，
∴t=2
∴当t=2s时，△AMN为等腰直角三角形．
（2）∵以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似
∴①$\frac{AM}{AN}=\frac{CD}{AD}$，
∴$\frac{t}{6-2t}=\frac{3}{6}$，
∴t=$\frac{3}{2}$
②$\frac{AM}{AN}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{t}{6-2t}=\frac{6}{3}$，
∴t=$\frac{12}{5}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$或$\frac{12}{5}$时，以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
（3）S_{四边形AMCN}=S_矩形ABCD-S_△CDN-S_△BCM
=AD×CD-$\frac{1}{2}$DN×CD-$\frac{1}{2}$BC×BN
=6×3-$\frac{1}{2}$×3×2t-$\frac{1}{2}$×6×（3-t）
=18-9
=9，
∴四边形AMCN的面积是恒值为9．

点评 此题是相似三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定，相似三角形的判定，三角形，矩形的面积公式，解本题的关键是以点A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似时的时间t计算，难点是四边形AMCN的面积的计算，是一道比较简单的常考题．