Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠DOC=∠A+∠ACO=60°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵⊙O半径是3，∠BOC=60°，
∴由弧长公式得：的长为：=π．
分析：（1）根据等腰三角形得出得出∠A=∠D，∠A=∠ACO，求出∠A=∠ACO=30°，求出∠COD=60°，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据弧长公式l=求出即可．
点评：本题考查了弧长公式，切线的判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的应用．