Question

【题目】已知a、b、c为整数，且满足3+a2+b2+c2＜ab+3b+2c，求的值．

Answer 1

【答案】解：由a、b、c均为整数，a2+b2+c2+3＜ab+3b+2c，得
a2+b2+c2+3≤ab+3b+2c﹣1
∴4a2+4b2+4c2+12≤4ab+12b+8c﹣4
（4a2﹣4ab+b2）+（3b2﹣12b+12）+（4c2﹣8c+4）≤0
（2a﹣b）2+3（b2﹣4b+4）+4（c2﹣2c+1）≤0
（2a﹣b）2+3（b﹣2）2+4（c﹣1）2≤0
∴2a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，
解得 a=1，b=2，c=1，
∴= ．
【解析】由a、b、c为整数，可得应把所给不等式的右边减1，整理为用“≤”表示的形式，进而把得到的不等式整理为一边为0的形式，把另一边整理3个不含分数的完全平方式子的和的形式，让底数为0可得a，b，c的值，进而代入代数式求解即可．
【考点精析】关于本题考查的根与系数的关系，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．