Question

【题目】已知二次函数y=x2-mx+n图像的顶点为C（1，-4）．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如点A是二次函数在第四象限内图象上的一动点，过点A作轴，P为垂足，求的最大值；

（3）已知点B（－1，－4），问在的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转得到线段，且点恰好落在二次函数图像上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）

【解析】

（1）二次函数y=x2-mx+n图像的顶点为C（1，-4），即可求m，n；

（2）作AP⊥x轴，设A（a，a2-2a-3），所以AP=-a2+2a+3，PO=a，可得AP+OP=-a2+3a+3=，由已知可知0＜a＜3，即可求；

（3）假设对称轴上存在点Q，过点B'作B'D⊥对称轴l于点D，可得∠B'DQ=90°；①当点Q在顶点C的下方时，可证△BCQ≌△QDB'，设点Q（1，b），所以B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，可知B'（-3-b，2+b），可得，可求b=-5，Q（1，-5），②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，-2）．

（1）∵二次函数y=x2-mx+n图像的顶点为C（1，-4），

∴

∴

∴

（2）作AP⊥x轴，设A（a，）

∵A在第四象限，

∴0＜a＜3，

∴

∴

∵0＜a＜3，

∴当时AP+OP的最大值为

（3）假设对称轴上存在点Q，过点作于点D

∴

①当点Q在顶点C的下方时

∵B（﹣1，﹣4），C（1，﹣4），抛物线的对称轴为x=1

∴BC⊥l，BC=2，∠BCQ=90°

∴△BCQ≌△QDB'

∴B'D=CQ，QD=BC，

设点Q（1，b）

∴B'D=CQ=-4-b，QD=BC=2，

可知B'（-3-b，2+b），

∴

∴

∴b=-2或b=-5，

∵b＜-4，

∴Q（1，﹣5），

②当点Q在顶点C的上方时，同理可得Q（1，﹣2）；

综上所述：Q（1，﹣5）或Q（1，﹣2）；