Question

18．如图的△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直线AG分别交DE、BC于M、N两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN的长度为$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 由DE∥BC可得$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，求出AE的长，由GF∥BN可得$\frac{AE+EF}{AB}$=$\frac{GF}{BN}$，将AE的长代入可求得BN．

解答 解：∵四边形DEFG是正方形，
∴DE∥BC，GF∥BN，且DE=GF=EF=1，
∴△ADE∽△ACB，△AGF∽△ANB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$①，$\frac{AE+EF}{AB}$=$\frac{GF}{BN}$②，
由①可得，$\frac{AE}{4}$=$\frac{1}{3}$，解得：AE=$\frac{4}{3}$，
将AE=$\frac{4}{3}$代入②，得：$\frac{\frac{4}{3}+1}{4}$=$\frac{1}{BN}$，
解得：BN=$\frac{12}{7}$，
故答案为：$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键．