【题目】如图,四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F.
(1) 求证:DE-BF = EF.
(2) 当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系, 并说明理由.
(3) 若点G为CB延长线上一点,其余条件不变.请画出图形,写出此时DE、BF、EF之间的数量关系(不需要证明).
【答案】(1)通过三角形全等进而求证(2)DE-BF=AF-AE=EF
【解析】
试题考查知识点:正方形;三角形的全等与相似;等量代换
思路通过利用正方形的性质,证明三角形的全等与相似,然后利用等量代换。
具体解答过程:
(1)、∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=90°,AB=AD
∵DE⊥AG,BF⊥AG
∴∠AFB=∠DEA=90°
∵∠AFB+∠DAE=90°,∠ADE+∠DAE=90°
∴∠AFB=∠ADE
∴Rt△AFB≌Rt△DEA
∴DE=AF,AE=BF
∴DE-BF=AF-AE=EF
(2)、当点G为BC边中点时,如下图所示。
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,AB:BG=2:1
∵∠AFB=∠ADE
∴Rt△AFB≌Rt△DEA∽Rt△ABG∽Rt△BFG
∴AE=BF,AF=DE=2AE,BF=2FG,AE=EF
∴EF=2FG
(3)、如下图所示。
∵DE⊥AG,BF⊥AG
∴∠AFB=∠DEA=90°
∵∠BAD=90°,∠EAF是平角,
∴∠EAD+∠FAB=90°
∵∠EAD+∠EDA=90°
∴∠FAB=∠EDA
∴Rt△AFB≌Rt△DEA
∴AE=BF,DE=AF
∴EF=EA+AF即EF=DE+BF
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【题目】如图,有一圆柱,其高为12cm,它的底面半径为3cm,在圆柱下底面A处有一只蚂蚁,它想得到上面B处的食物,则蚂蚁经过的最短距离为_________.(π取3)
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【题目】如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1,连结AD1、BC1.已知∠ACB=30°,AB=1,
(1)求证:△A1AD1≌△CC1B;
(2)当CC1=1时,求证:四边形ABC1D1是菱形。
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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【题目】如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边△ACD和等边△BCE.设△ACD,△BCE,△ABC的面积分别是S1,S2,S3,现有如下结论:
①S1∶S2=AC2∶BC2;②连接AE,BD,则△BCD≌△ECA;③若AC⊥BC,则S1·S2=S23.
其中结论正确的序号是__________.
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【题目】经过实验获得两个变量 x(x 0), y( y 0) 的一组对应值如下表。
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 7 | 3.5 | 2.33 | 1.75 | 1.4 | 1.17 | 1 |
(1)在网格中建立平面直角坐标系,画出相应的函数图象,求出这个函数表达式;
(2)结合函数图象解决问题:(结果保留一位小数)
①的值约为多少?
②点A坐标为(6,0),点B在函数图象上,OA=OB,则点B的横坐标约是多少?
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【题目】如图1,BD是矩形ABCD的对角线,∠ABD=30°,AD=1.将△BCD沿射线BD方向平移到△B′C′D′的位置,使B′为BD中点,连接AB′,C′D,AD′,BC′,如图2.
(1)求证:四边形AB′C′D是菱形;
(2)求四边形ABC′D′的周长.
图1 图2
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【题目】某校举行以“助人为乐,乐在其中”为主题的演讲比赛,比赛设一个第一名,一个第二名,两个并列第三名.前四名中七、八年级各有一名同学,九年级有两名同学,小蒙同学认为前两名是九年级同学的概率是,你赞成他的观点吗?请用列表法或画树形图法分析说明.
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