Question

19．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是x轴上的一点，是否存在一点P使△ABP是等腰三角形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，抛物线的解析式中有一个字母系数，需要找一个抛物线上的点代入求解，因此只要求点C的坐标即可；证明△AOB≌△CDA，则CD=OA=1，AD=OB=2，可得点C（3，1），代入抛物线解析式即可；
（2）如图1，先求△ABC的面积，分别求BC和AC的解析式，表示EF的长，根据面积一半列等式，可求得F的横坐标，即直线l的解析式；
（3）如图2，分别以三边为腰分情况进行讨论，依次求P的坐标即可．

解答 解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠AOB=90°
∵∠OBA+∠OAB=90°，
∵∠BAC=90°
∴∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
在△AOB与△CDA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠OAB=∠ACD}\\{AB=AC}\\{∠OBA=∠CAD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2．
∴OD=OA+AD=3．
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2上，
∴1=$\frac{1}{2}$×9+3b-2，解得：b=-$\frac{1}{2}$．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2．
（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB²=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∵B（0，2），C（3，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{3k+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，
同理求得直线AC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
如图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
则EF=$（-\frac{1}{3}x+2）-（\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{6}x$，
在△CEF中，FE边上的高h=OD-x=3-x，
由题意得：S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
即：$\frac{1}{2}$ EF•h=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（$\frac{5}{2}-\frac{5}{6}x$）$•（3-x）=\frac{1}{2}×\frac{5}{2}$，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-$\sqrt{3}$或x=3+$\sqrt{3}$（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-$\sqrt{3}$时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分；
（3）如图2，分四种情况：
①当AB=BP₁时，OP₁=OA=1，
∴P₁（-1，0）；
②当AP₂=AB时，OP₂=OA+AP₂=$\sqrt{5}$+1，
∴P₂（$\sqrt{5}$+1，0）；
③当AB=AP₃时，OP₃=AP₃-OA=$\sqrt{5}$-1，
∴P₃（1-$\sqrt{5}$，0）；
④当AP₄=BP₄时，过P₄作P₄D⊥AB于D，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠ADP₄=∠AOB=90°，
∴∠DAO+∠AP₄D=90°，
∠DAO+∠ABO=90°，
∴∠AP₄D=∠ABO，
tan∠AP₄D=tan∠ABO=$\frac{AD}{{P}_{4}D}=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴P₄D=2AD=$\sqrt{5}$，
由勾股定理得：AP₄=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴OP₄=AP₄-OA=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴P₄（-$\frac{3}{2}$，0）；
综上所述，P点的坐标为（-1，0）或（$\sqrt{5}$+1，0）或（1-$\sqrt{5}$，0）或（-$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，难度适中，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定、同角的三角函数、勾股定理等知识，注意第三问中利用数形结合的思想，分类讨论，属于常考查题型，本题还利用解析式表示线段的长，这在函数的综合题中经常运用，要熟练掌握．