Question

【题目】在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、，交轴于点，点抛物线的顶点，对称轴与轴交于点．

⑴.求抛物线的解析式；

⑵.如图1，连接,点是线段上方抛物线上的一动点，于点；过点作轴于点,交于点.点是轴上一动点，当 取最大值时．

①.求的最小值；

②.如图2，点是轴上一动点,请直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）直接利用待定系数法，把A,B两点代入解析式即可求出．

（2）利用配方法求出M点，求出直线AM的解析式，从而可以得出经过点E且与直线AM平行的直线 解析式，再根据当直线与抛物线只有一个交点时，EF取最大值，利用根的判别式可求出E点和D点的坐标，再根据当P,B,D三点共线时，PD+PC有最小值，利用勾股定理即可求出．

（3）利用添加辅助线，对线段OQ进行转化，再根据三点共线求出最小值．

1）将A（-3,0）、B（1,0）代入二次函数得，

解之得，∴二次函数的解析式为；

（2）①将二次函数配方得，

∴M（-1,4）

设直线AM的解析式为，将代入直线可得，

解得，

∴直线AM的解析式为，

过E作直线，平行于直线AM，且解析式为，

∵E在直线AM上方的抛物线上，

∴；

当直线与AM距离最大时，EF取得最大值，

∴当与抛物线只有一个交点时，EF取得最大值，

将直线的解析式代入抛物线得，

由题意可得，△=，经计算得，将代入二次方程可得，

，

∴，即E点的横坐标为-2，将代入抛物线得，

∴，

又∵⊥轴，

∴，将代入直线AM，

∴，

∵，

∴B、C两点关于轴对称，

∴，

∴，当P、B、D三点不共线时，

当P、B、D三点共线时，，

∴当P、B、D三点共线时PC+PD取得最小值，

在Rt△BHD中。DH=2，BH=3，∴BD=，

∴的最小值为；

②过Q作直线平行于轴，并在轴右侧该直线上取一点G，使得，

QG=，

∴，当三点共线时，

DQ+QG取得最小值，设Q（0，y），则，

∵QG∥轴，

∴，

∴，

∴的最小值为．

【点晴】

本题主要考查了二次函数综合应用，利用待定系数求解析式，根的判别式求点的坐标，利用三点共线求最值的问题．