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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到Rt△A1B1C.
(1)如图1,若连接AA1,BB1,则
BB1
AA1
的值为______;
(2)如图2,连接AB1、BA1,判断S△ACB1与SA1CB的大小关系,并说明你的理由;
(3)如图3,设AB的中点为O,A1B1的中点为P,当θ=______时,OP⊥A1C.
(1)根据旋转的定义,旋转角∠ACA1=∠BCB1
∵Rt△A1B1C是Rt△ABC绕顶点C旋转得到,
∴AC=A1C,BC=B1C,
∴△ACA1△BCB1
BB1
AA1
=
BC
AC

∵cot30°=
BC
AC
=
3

BB1
AA1
=
3


(2)S△ACB1=S△A1CB
理由如下:如图2,作AM⊥B1C于点M,作A1N⊥CB于N,
则∠ACA1+∠A1CB=90°,
∠ACA1+∠ACM=90°,
∴∠A1CB=∠ACM,
在△ACM和△A1CN中,
A1CB=∠ACM
∠AMC=∠A1NC=90°
AC=A1C

∴△ACM≌△A1CN(AAS),
∴AM=A1N,
又∵CB1=CB,
∴S△ACB1=S△A1CB

(3)如图3,连接CO、PO,
∵AB的中点为O,A1B1的中点为P,
∴CO=PO=AO,
∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,
∴∠A=90°-30°=60°,
∴△ACO是等边三角形,
∴∠ACO=60°,
∵OP⊥A1C,
∴∠A1CP=∠A1CO=∠A=60°(等腰三角形三线合一),
∴∠ACA1=∠ACO+∠A1CO=60°+60°=120°,
即当θ=120°时,OP⊥A1C.
故答案为:(1)
3
;(3)120°.
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A.16B.24C.27D.32

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A.
12
2
B.
13
2
C.
14
2
D.
15
2

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