Question

如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．
（1）求证：直径AD平分∠BAC；
（2）若BC经过半径OA的中点E，F是

CD

的中点，G是

FB

的中点，⊙O的半径为1，求GF的长．

Answer 1

分析：（1）根据全等或等腰三角形的性质即可得出AO⊥BC，AO平分BC．
（2）求出∠AOC的度数，求出弧AC度数，分别求出弧CD、弧CF、弧DF、弧BF、弧GF的度数，求出∠GOF=90°，根据勾股定理求出即可．

解答：（1）证明：连接OB，OC，
∵在△ABO和△ACO中，

AB=AC OA=OA OB=OC

∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴直径AD平分∠BAC；

（2）解：连接OG、OF，OC，
∵BC过AO中点，
∴AE=OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∵AO⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
即弧AC度数是60°，
∵AD为直径，
∴弧CD的度数是180°-60°=120°，
∵F为弧CD中点，
∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°，
∵AO⊥BC，AO平分BC，
∴弧BD的度数=弧CD的度数，是120°，
∴弧BDF的度数是120°+60°=180°，
∵G为弧BDF的中点，
∴弧GF度数是90°，
∴∠GOF=90°，
∵OG=OF=1，
∴由勾股定理得：GF=

12+12

=

2

．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．