Question

14．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=10，∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE=CF；②线段EF的最小值为5$\sqrt{3}$；③当AD=3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD=5；⑤当点D从点A运动到B点时，线段EF扫过的面积是20$\sqrt{3}$．其中正确结论的序号是①②④．

Answer 1

分析 （1）由点E与点D关于AC对称可得CE=CD，再根据DF⊥DE即可证到CE=CF．
（2）根据“点到直线之间，垂线段最短”可得CD⊥AB时CD最小，由于EF=2CD，求出CD的最小值就可求出EF的最小值．
（3）连接OC，易证△AOC是等边三角形，AD=OD，根据等腰三角形的“三线合一”可求出∠ACD，进而可求出∠ECO=90°，从而得到EF与半圆相切．
（4）利用相似三角形的判定与性质可证到△DBF是等边三角形，只需求出BF就可求出DB，进而求出AD长．
（5）首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．

解答 解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE=CD．
∴∠E=∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°．
∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°．
∴∠F=∠CDF．
∴CD=CF．
∴CE=CD=CF．
∴结论“CE=CF”正确．

②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AB=10，∠CBA=30°，
∴∠CAB=60°，AC=5，BC=5$\sqrt{3}$．
∵CD⊥AB，∠CBA=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∵CE=CD=CF，
∴EF=2CD．
∴线段EF的最小值为5$\sqrt{3}$．
∴结论“线段EF的最小值为5$\sqrt{3}$”正确．

③当AD=3时，连接OC，如图3所示．
∵OA=OC，∠CAB=60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA=CO，∠ACO=60°．
∵AO=5，AD=3，
∴DO=2．
∴AD≠DO．
∴∠ACD＞∠OCD≠30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA=∠DCA．
∴∠ECA≠30°．
∴∠ECO≠90°．
∴OC不垂直EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，
∴EF与半圆不相切．
∴结论“EF与半圆相切”错误．

④当点F恰好落在$\widehat{BC}$上时，连接FB、AF，如图4所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD=90°．
∴∠AGD=∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴$\frac{FH}{FD}$=$\frac{FC}{FE}$．
∵FC=$\frac{1}{2}$EF，
∴FH=$\frac{1}{2}$FD．
∴FH=DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC=∠FDE=90°．
∴BF=BD．
∴∠FBH=∠DBH=30°．
∴∠FBD=60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB=90°．
∴∠FAB=30°．
∴FB=$\frac{1}{2}$AB=5．
∴DB=4．
∴AD=AB-DB=5．
∴结论“AD=5”正确．

⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S_阴影=2S_△ABC
=2×$\frac{1}{2}$AC•BC
=AC•BC
=5×5$\sqrt{3}$=25$\sqrt{3}$．
∴EF扫过的面积为25$\sqrt{3}$．
∴结论“EF扫过的面积为20$\sqrt{3}$”错误．
故答案为：①、②、④．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、轴对称的性质、含30°角的直角三角形、垂线段最短等知识，综合性强，有一定的难度．