Question

【题目】阅读下面材料，完成（1）-（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图，△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．

同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”

小伟：“通过观察发现，∠AFE与α存在某种数量关系．”

老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”

（1）求证：BE＝CD；

（2）求∠AFE的度数（用含α的式子表示）；

（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）∠AFE＝；（3）EF＝FC+2GF，见解析

【解析】

（1）由∠DAB＝∠CAE＝α，可得∠DAC＝∠BAE，根据“SAS”可证△ADC≌△ABE，可得DC＝BE；

（2）由△ADC≌△ABE可得∠AEF＝∠ACD，即可证点A，点E，点C，点F四点共圆，可得∠AFE＝∠ACE，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠AFE的度数；

（3）结论：EF＝FC+2GF．由题意可得∠AFD＝＝∠AFE，过点作AH⊥BE，可证△AGF≌△AHF，可得AG＝AH，GF＝HF，即可证Rt△AGC≌Rt△AHE，可得GC＝HE，由EF﹣FC＝2GF可得结论．

证明：（1）∵∠DAB＝∠CAE＝α，

∴∠DAC＝∠BAE，且AD＝AB，AC＝AE

∴△ADC≌△ABE（SAS）

∴DC＝BE．

（2）∵△ADC≌△ABE

∴∠AEF＝∠ACD

∴点A，点E，点C，点F四点共圆

∴∠AFE＝∠ACE

∵AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ACE＝，

∴∠AFE＝．

（3）结论：EF＝FC+2GF．

理由：∵△ADC≌△ABE

∴∠ADC＝∠ABE

∴点A，点D，点B，点F四点共圆

∴∠AFD＝∠ABD

∵AB＝AD，∠DAB＝∠CAE＝α

∴∠ABD＝，

∴∠AFD＝，

∴∠AFE＝∠AFD

如图，过点作AH⊥BE，

∵∠AFE＝∠AFD，∠AGF＝∠AHF，AF＝AF

∴△AGF≌△AHF（AAS）

∴AG＝AH，GF＝HF，

∵AG＝AH，AE＝AC

∴Rt△AGC≌Rt△AHE（HL）

∴GC＝HE

∵EF﹣FC＝HE+FH﹣FC＝GC+FH﹣FC＝GF+FC+FH﹣FC＝2GF，

∴EF＝FC+2GF．