分析 (1)由∠DFC=90°,∠C=30°,证出DF=t=AE;
(2)先证明四边形AEFD为平行四边形.得出AB=5,AD=AC-DC=10-2t,若△DEF为等边三角形,则?AEFD为菱形,得出AE=AD,t=10-2t,求出t=$\frac{10}{3}$;
(3)分三种情况讨论:①∠EDF=90°时;②∠DEF=90°时;③∠EFD=90°时,此种情况不存在;分别求出t的值即可.
解答 解:(1)证明:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,
∴DF=t.
又∵AE=t,
∴AE=DF;
(2)能;
理由如下:
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF.
又AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形.
∵∠C=30°,AC=10,
∴AB=5,BC=5$\sqrt{3}$
∴AD=AC-DC=10-2t,
若使△DEF能够成为等边三角形,
则平行四边形AEFD为菱形,则AE=AD,
∴t=10-2t,
∴t=$\frac{10}{3}$;
即当t=$\frac{10}{3}$时,△DEF为等边三角形;
(3)当t=$\frac{2}{5}$或4时,△DEF为直角三角形;
理由如下:
①∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.
在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,
∴AD=2AE.即10-2t=2t,
∴t=$\frac{5}{2}$;
②∠DEF=90°时,由(2)知EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°.
∵∠A=90°-∠C=60°,
∴AD=AE•cos60°.
即10-2t=$\frac{1}{2}$t,
∴t=4;
③∠EFD=90°时,
∵DF⊥BC,
∴点运动到点B处,用了AB÷1=5秒中,
同时点D也运动5秒钟,点D就和点A重合,
点F也就和点B重合,
点D,E,F不能构成三角形.
此种情况不存在;
综上所述,当t=$\frac{5}{2}$或4时,△DEF为直角三角形.
点评 本题是四边形综合题,主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识;考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力;特别注意(3)中分类讨论三种情况,分别求出t的值,避免漏解
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A. | 40° | B. | 45° | C. | 50° | D. | 55° |
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