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如图:AB是半圆的直径,O是圆心,C、D是半圆上的两点,若AB=4,弦AC=CD=1.
(1)求证:OC∥BD;
(2)设∠AOC=α,求sinα的值;
(3)求BD的长.
考点:垂径定理,圆心角、弧、弦的关系,解直角三角形
专题:
分析:(1)先根据AC=CD=1可得出
AC
=
CD
,故可得出∠AOC=∠ABD,进而可得出结论;
(2)连接AD,OD,AD和CO相交于E,根据AC=CD,AO=DO可知四边形ACDO的对角线AD和CO互相垂直,由勾股定理可知CE2=AC2-AE2,EO2=AO2-AE2,CE+EO=CO=2,根据AB=4,AC=CD=1可得出AE的长,根据锐角三角函数的定义即可得出结论;
(3)根据(2)中AE的长可得出AD的长,△ABD为圆O过直径的内接三角形,再根据勾股定理即可得出BD的长.
解答:解:(1)∵AC=CD=1,
AC
=
CD

∴∠AOC=∠ABD,
∴OC∥BD;

(2)连接AD,OD,AD和CO相交于E
∵AC=CD,AO=DO,
∴四边形ACDO的对角线AD和CO互相垂直
∴CE2=AC2-AE2,EO2=AO2-AE2,CE+EO=CO=2,
∵AB=4,AC=CD=1,
∴AE=
15
2

∴sinα=
AE
OA
=
15
2
2
=
15
4


(3)∵由(2)知,AE=
15
2

∴AD=2AE=
15

∵AB是⊙O的直径,
∴△ABD是直角三角形,
∴BD2=AB2-AD2,即BD2=42-(
15
2
∴BD=
7
2
点评:本题考查的是垂径定理与勾股定理,熟知平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
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