Question

11．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，-$\frac{3}{2}$）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点T为y轴正半轴上一点，直线AT与抛物线的另一个交点为点D，点P为直线AT下方的抛物线上一动点．
①若AD=5AT，求点T的坐标；
②当△ATP的面积的最大值为$\frac{9}{4}$，求点T的坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式为y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）①作DE⊥x轴于E，如图1，先证明△AOT∽△AED，利用相似比得到AE=5，OT=$\frac{1}{5}$DE，则OE=4，即D点的横坐标为4，利用抛物线解析式可得到D（4，$\frac{5}{2}$），则DE=$\frac{5}{2}$，于是可计算出OT=$\frac{1}{5}$DE=$\frac{1}{2}$，从而得到T点坐标；
②过点P作PF∥AT交y轴于F，如图2，当直线PF与抛物线只有一个公共点P时，点P到直线AT的距离最大，根据三角形面积公式可判定此时△ATP的面积的最大，S_△APT=$\frac{9}{4}$，设T（0，t），利用S_△AFT=S_△APT=$\frac{9}{4}$可得到OF=TF-OT=$\frac{9}{2}$-t，则F（0，t-$\frac{9}{2}$），再表示出直线AT的解析式为y=tx+t，利用两直线平行的问题可设直线PF的解析式为y=tx+t-$\frac{9}{2}$，根据抛物线与直线的交点问题列方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\\{y=tx+t-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，消去y得到$\frac{1}{2}$x²-（t+1）x+3-t=0，再根据判别式的意义得到关于t的方程，最后解关于t的方程即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，-$\frac{3}{2}$）代入得a•1•（-3）=-$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-3），即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
（2）①作DE⊥x轴于E，如图1，
∵DE∥OT，
∴△AOT∽△AED，
∴$\frac{AO}{AE}$=$\frac{OT}{DE}$=$\frac{AT}{AD}$，即$\frac{1}{AE}$=$\frac{OT}{DE}$=$\frac{1}{5}$，解得AE=5，OT=$\frac{1}{5}$DE，
∴OE=4，
当x=4时，y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$×16-4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴D（4，$\frac{5}{2}$），
∴DE=$\frac{5}{2}$，
∴OT=$\frac{1}{5}$DE=$\frac{1}{2}$，
∴T（0，$\frac{1}{2}$）；
②过点P作PF∥AT交y轴于F，如图2，
当直线PF与抛物线只有一个公共点P时，点P到直线AT的距离最大，此时△ATP的面积的最大，S_△APT=$\frac{9}{4}$，
设T（0，t），
∵PF∥AT，
∴S_△AFT=S_△APT=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$•1•TF=$\frac{9}{4}$，解得TF=$\frac{9}{2}$，
∴OF=TF-OT=$\frac{9}{2}$-t，
∴F（0，t-$\frac{9}{2}$），
设直线AT的解析式为y=kx+t，把A（-1，0）代入得-k+t=0，解得k=t，
∴直线AT的解析式为y=tx+t，
∵直线PF与直线AT平行，
∴直线PF的解析式为y=tx+t-$\frac{9}{2}$，
列方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-\frac{3}{2}}\\{y=tx+t-\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，消去y得到$\frac{1}{2}$x²-（t+1）x+3-t=0，
△=（t+1）²-4•$\frac{1}{2}$•（3-t）=0，
整理得t²+4t-5=0，
解得t₁=1，t₂=-5（舍去），
∴T点坐标为（0，1）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的图象上点的坐标特征和根的判别式的意义；会利用待定系数法法函数解析式，会求抛物线与一次函数图象的交点坐标；能构建相似三角形，利用相似比表示线段之间的关系．