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    已知矩形ABCD内接于⊙O，AB=6cm，AD=8cm，以圆心O为旋转中心，把矩形ABCD顺时针旋转，得到矩形A′B′C′D′仍然内接于⊙O，记旋转角为α（0°＜α≤90°）．
    （Ⅰ）如图①，⊙O的直径为
     
    cm；
    （Ⅱ）如图②，当α=90°时，B′C′与AD交于点E，A′D′与AD交于点F，则四边形A′B′EF的周长是
     
    cm．
    （Ⅲ）如图③，B′C′与AD交于点E，A′D′与AD交于点F，比较四边形A′B′EF的周长和⊙O的直径的大小关系；
    （Ⅳ）如图④，若A′B′与AD交于点M，A′D′与AD交于点N，当旋转角α=
     
    （度）时，△A′MN是等腰三角形，并求出△A′MN的周长．
    考点：圆的综合题,矩形的性质,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,旋转的性质
    专题：综合题
    分析：（Ⅰ）连接AC，如图①，只需运用勾股定理就可求出⊙O的直径．
    （Ⅱ）连接AB′，A′D，如图②，由矩形及旋转的性质可得AD=B′C′，然后由在同圆中弦与弧的关系可得
    AD
    =
    B′C′
    ，从而有
    B′D
    =
    AC′
    ，然后根据圆周角定理可得∠AB′C′=∠B′AD，从而有EA=EB′；同理可得DF=FA′，进而可证到四边形A′B′EF的周长等于AB+AD，问题得以解决．
    （Ⅲ）连接AB′，A′D，BD，如图③，借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，同样可得四边形A′B′EF的周长等于AB+AD，然后运用三角形三边关系就可解决问题．
    （Ⅳ）连接AB′，A′D，如图④，易得旋转角α=45°时，△A′MN是等腰三角形，然后借鉴（Ⅱ）的解题经验和结论，可得A′N=DN，PA=PB′．设AM=x，A′N=y，则有A′B′=A′M+MP+B′P=y+
    		2
    x+x=6①，AD=AM+MN+DN=x+
    		2
    y+y=8②．解①和②就可求出△A′MN的周长．
    解答：解：（Ⅰ）如图①，连接AC．

    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴BC=AD=8，∠ABC=90°．
    ∵矩形ABCD内接于⊙O，∠ABC=90°，
    ∴AC是⊙O的直径．
    ∵AB=6，BC=8，
    ∴AC=10．
    故答案为：10．

    （Ⅱ）如图②，连接AB′，A′D．

    由旋转可得：A′D′=AD，A′B′=AB．
    ∵四边形A′B′C′D′是矩形，
    ∴B′C′=A′D′．
    ∴AD=B′C′．
    ∴
    AD
    =
    B′C′
    ．
    ∴
    B′D
    =
    AC′
    ．
    ∴∠B′AD=∠AB′C′．
    ∴EA=EB′．
    同理可得：DF=FA′．
    ∴四边形A′B′EF的周长=A′B′+B′E+EF+FA′
    =AB+EA+EF+DF=AB+AD=6+8=14．
    故答案为：14．

    （Ⅲ）如图③，连接AB′，A′D，BD．

    由（2）中证明可得：EA=EB′，DF=FA′．
    ∵A′B′+B′E+EF+FA′=AB+EA+EF+DF=AB+AD＞BD，
    ∴四边形A′B′EF的周长大于⊙O的直径．

    （Ⅳ）如图④，连接AB′，A′D．

    ∵四边形A′B′C′D′是矩形，
    ∴∠B′A′D′=90°．
    ∵△A′MN是等腰三角形，
    ∴A′M=A′N，∠A′MN=∠A′NM=45°．
    ∴旋转角α等于45°．
    ∴当旋转角α等于45°时，△A′MN是等腰三角形．
    故答案为：45．
    由（2）中的证明可得：A′N=DN，PA=PB′．
    ∵∠AMP=∠A′MN=45°，∠BAD=90°，
    ∴∠APM=45°=∠AMP．
    ∴AM=AP．
    ∴AM=AP=PB′，A′M=A′N=DN，MP=
    		2
    AM，MN=
    		2
    A′N．
    设AM=x，A′N=y，
    则A′B′=A′M+MP+PB′=y+
    		2
    x+x=6①，
    AD=AM+MN+DN=x+
    		2
    y+y=8②．
    由②-①得：
    		2
    （y-x）=2．
    解得：y-x=
    		2
    ．
    则x=y-
    		2
    ．
    把x=y-
    		2
    代入②得：y-
    		2
    +
    		2
    y+y=8，
    解得：2y+
    		2
    y=8+
    		2
    ．
    ∴△A′MN的周长为2y+
    		2
    y=8+
    		2
    ．
    点评：本题通过矩形旋转，考查了旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、同圆中弧与弦之间的关系、解二元一次方程组、勾股定理等知识，渗透了变中有不变的辩证思想，另外还考查了运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．
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    若1＜x＜3，化简|1-x|-|x-4|=（　　）
    A、5B、-3C、3D、2x-5

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    在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．
    （1）求两次取的小球的标号相同的概率；
    （2）求两次取的小球的标号的和不等于4的概率．

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    计算：
    ①(
    		2013
    -
    		2014
    )+(
    		2014
    -
    		2013
    )    ；      
    ②|1-
    		2
    |+
    		(
    		2
    -
    		3
    )    2
    -|1-
    		3
    |    ．

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    如图所示，已知⊙O的外切△ABC，AB，BC，AC边上的切点为M，D，N，MN与直线DO交于E，连接AE并延长交BC于F，求证：BF=CF．

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    在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度．△ABC三个顶点的位置如图所示，将点A平移到A1，点B平移到B1，点C平移到C1．
    （1）请画出平移后的△A1B1C1，并写出点B经过怎样的平移得到B1？
    （2）△A1B1C1的面积是
     
    ．
    （3）连接BB1，CC1．则这两条线段的数量关系是
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    数学课老师提出这样一个问题：已知如图，直线AB∥CD，直线EF与直线AB交于G，与直线CD交于H，且GN平分∠EGB，求证：∠4=
    1
    2
    ∠1．
    下面是某同学给出一种证法，请你将解答中缺少的条件、结论或证明理由补充完整．
    证明：
    ∵CD与EF相交于点H，（已知）
    ∴∠1=∠2（
     
    ）
    ∵AB∥CD，EF与AB、CD分别交于G、H（已知）
    ∴∠2=∠EGB（
     
     ）
    ∵GN是∠EGB的平分线，（已知）
    ∴∠4=
     
    ∠EGB（角平分线定义）
    ∵∠1=∠2，∠2=∠EGB（已证）
    ∴∠1=∠EGB（
     
    ）
    ∵
     
    （已证）
    ∴∠4=
    1
    2
    ∠1（等量代换）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    解方程：
    （1）5x-2（3-2x）=-3；
    （2）
    x
    3
    -
    3x+1
    6
    =1-
    x-1
    2
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，△ABC的∠B，∠C的外角的平分线交于点P．
    （1）若∠ABC=50°，∠A=70°，则∠P=
     
    °．
    （2）若∠ABC=48°，∠A=70°，则∠P=
     
    °．
    （3）若∠A=68°，则∠P=
     
    °．
    （4）根据以上计算，试写出∠P与∠A的数量关系：
     
    ．

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