Question

甲、乙、丙三人分糖块，分法如下：先在三张纸片上各写三个正整数p、q、r，使p＜q＜r，分糖时，每人抽一张纸片，然后把纸片上的数减去p，就是他这一轮分得的糖块数，经过若干轮这种分法后，甲总共得到20块糖，乙得到10块糖，丙得到9块糖，又知最后一次乙拿到的纸片上写的数是r，而丙在各轮中拿到的纸片上写的数字的和是18，问：p、q、r分别是哪三个正整数？为什么？

Answer 1

每一轮三人得到的糖块数之和为

r＋q＋p－3p＝r＋q－2p

设他们共分了n轮，则

n（r＋q－2p）=20＋10＋9＝39.

∵39＝1×39＝3×13.

且n≠1，否则拿到纸片p的人得糖数为0，与已知矛盾n≠39，因为每次至少分出2块糖，不可能每轮只分1块糖.

∴n＝3或n＝13.

由于每个人所得糖块数是他拿到的纸片上数的总和减去np，由丙的情况得到

9＝18－np

∴np＝9 p≥1.

∴n≠13，只有n＝3.

∴p＝3.

把n＝3，p＝3代入①式得

r＋q＝19.

又乙得的糖块总数为10，最后一轮得到的糖块r－3块.

∴r－3≤10，r≤13.

若r≤12，则乙最后一轮拿到的纸片为r，所得糖数为r－p≤9.这样乙必定要在前两轮中再抽得一张q或r.这样乙得的总糖数一定大于等于（r＋q）－2p＝13，这与乙得到的糖数为10块矛盾.

∴r＞12 ∵12＜r≤13.

∴r＝13.    q＝19－r＝6.

综上得  p＝3，q＝6，r＝13

甲、乙、丙三人在三轮中抽得的纸片数如下：：