Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根．
（1）若x₁+2x₂=3-，求x₁，x₂及k的值；
（2）在（1）的条件下，求-3+2x₁+x₂的值．
（3）若以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根，x₁+2x₂=3-，
∴，
解得，
∵x₁•x₂=k²-4k-1，
∴k²-4k-1=-1，
∴k₁=0，k₂=4；

（2）∵-3+2x₁+x₂
=-2-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，
又∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁²-2x₁=1，
∴原式=x₁-1+x₂
=x₁+x₂-1
=2-1
=1；

（3）∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁•x₂=k²-4k-1，
∵以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，
∴m=x₁•x₂
=k²-4k-1
=（k-2）²-5，
∴当k=2时，m_最小=-5．
分析：（1）由x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根可得出x₁+x₂与x₁+2x₂组成的方程组，求出x₁，x₂的值即可，再由x₁•x₂=k²-4k-1=-1即可求出k的值；
（2）先把-3+2x₁+x₂化为x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂的形式，再由（1）中x₁，x₂是原方程的根求出x₁²-2x₁=1，代入所求代数式进行计算即可；
（3）由x₁，x₂是原方程的根可得x₁•x₂=k²-4k-1，再由以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上可知m=x₁•x₂=k²-4k-1，故可得出结论．
点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则x₁•x₂=，x₁+x₂=-是解答此题的关键．