Question

21、已知：如图，?ABCD中，∠BCD的平分线交AB于E，交DA的延长线于F．
（1）求证：DF=DC；
（2）当DE⊥FC时，求证：AE=BE．

Answer 1

分析：（1）通过角平分线的性质可得出∠DCF=∠FCB，然后根据平行四边形的对边平行可得出∠DFC=∠FCB，从而根据等腰三角形的性质可证得结论．
（2）首先根据题意可得出FE=EC，然后根据（1）的结论结合题意条件可证得△AFE≌△BCE，这样也就证得了结论．

解答：证明：（1）∵FC平分∠BCD，
∴∠DCF=∠FCB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴FD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DF=DC．
（2）∵DF=DC，DE⊥FC，
∴FE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴FD∥BC
∴∠DFC=∠FCB
又∵∠AEF=∠CEB
∴△AFE≌△BCE，
∴AE=BE．

点评：本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，难度不大，解答本题的关键是根据题意将所证的结论进行变形，例如，证线段的相等往往转化为证三角形的全等．