Question

【题目】如图1,已知直线l1∥l2,线段AB在直线l1上,BC垂直于l1交l2于点C,且AB=BC,P是线段BC上异于两端点的一点,过点P的直线分别交l2、l1于点D. E(点A. E位于点B的两侧)，满足BP=BE，连接AP、CE.

（1）求证：△ABP≌△CBE；

（2）连结AD、BD，BD与AP相交于点F. 如图2.

①当=2时，求证：AP⊥BD；

②当=n(n>1)时,设△DAP的面积为S1,△EPC的面积为S2,求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②n+1.

【解析】

（1）根据平行和垂直得出∠ABP=∠CBE，再根据SAS证明即可；

（2）①延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可；②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．

（1）证明：∵BC⊥直线l1，

∴∠ABP=∠CBE，

在△ABP和△CBE中

∴△ABP≌△CBE（SAS）；

（2）①证明：延长AP交CE于点H，

∵△ABP≌△CBE，

∴∠APB=∠CEB，

∵∠PAB+∠APB=90°，

∴∠PAB+∠CEB=90°，

∴AH⊥CE，

∵=2，即P为BC的中点，直线l1∥直线l2，

∴△CPD∽△BPE，

∴

∴DP=PE，

∴四边形BDCE是平行四边形，

∴CE∥BD，

∵AH⊥CE，

∴AP⊥BD；

②解：∵=n，

∴BC=nBP，

∴CP=（n-1）BP，

∵CD∥BE，

易得△CPD∽△BPE，

∴

设△PBE的面积S△PBE=S，则△PCE的面积S△PCE满足，即S2=（n-1）S，

∵S△PAB=S△BCE=nS，

∴S△PAE=（n+1）S，

∵

∴S1=（n-1）S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）S，

∴.