Question

（2013•河北）某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q=W+100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

次数n	2	1
速度x	40	60
指数Q	420	100

（1）用含x和n的式子表示Q；
（2）当x=70，Q=450时，求n的值；
（3）若n=3，要使Q最大，确定x的值；
（4）设n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

Answer 1

分析：（1）根据题目所给的信息，设W=k₁x²+k₂nx，然后根据Q=W+100，列出用Q的解析式；
（2）将x=70，Q=450，代入求n的值即可；
（3）把n=3代入，确定函数关系式，然后求Q最大值时x的值即可；
（4）根据题意列出关系式，求出当Q=420时m的值即可．

解答：解：（1）设W=k₁x²+k₂nx，则Q=k₁x²+k₂nx+100，
由表中数据，得

420=402k1+2×40k2+100 100=602k1+1×60k2+100

，
解得：

k1=- 1 10 k2=6

，
∴Q=-

1

10

x²+6nx+100；

（2）将x=70，Q=450代入Q得，
450=-

1

10

70²+6×70n+100，
解得：n=2；

（3）当n=3时，Q=-

1

10

x²+18x+100=-

1

10

（x-90）²+910，
∵-

1

10

＜0，
∴函数图象开口向下，有最大值，
则当x=90时，Q有最大值，
即要使Q最大，x=90；

（4）由题意得，420=-

1

10

[40（1-m%）]²+6×2（1+m%）×40（1-m%）+100，
即2（m%）²-m%=0，
解得：m%=

1

2

或m%=0（舍去），
∴m=50．

点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题目中所给的信息，读懂题意列出函数关系式，要求同学们掌握求二次函数最值的方法，此题较麻烦，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．