如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC= $数学公式$ OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB= $数学公式$ 时，求△APC的面积的最大值．

解：连接OA；
∵C是OB的中点，且AC= $\text{[math]}$ OB，
∴∠OAB=90°，
∴∠O=60°，
∴OA=AC=2；
过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高；
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE= $\text{[math]}$ ，
∴PE= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
分析：连接OA，过点O作OE⊥AC于E，延长EO交圆于点F，则P（F）E是△PAC的AC边上的最大的高，根据已知及三角函数求得AC，PE的值，再根据三角形的面积公式不难求得△APC的面积的最大值．
点评：解此题的关键是把有关圆的知识抽象到解三角形中来进行解答．

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②求证：∠MAE=∠NCF．

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