Question

已知AB与⊙O相切于点C，OA=OB,OA,OB与⊙O分别交予点D,E
(I)如图①，若⊙O的直径为8，AB=10，求OA得长（结果保留根号）；
（II）如图②，连接CD，CE，若四边形ODCE为菱形，求的值。

Answer 1

（1）（2）

分析：
（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；
（2）根据菱形的性质，求得OD=CD，则△ODC为等边三角形，可得出∠A=30°，即可求得OD/OA的值。
解答：

（1）如图①，连接OC，则OC=4，
∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，
∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10，
得AC=1/2AB=5。
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA²= OC²+AC²=4²+5²=41
∴OA=。
（2）如图②，连接OC，则OC=OD，
∵四边形ODCE为菱形，∴OD=CD，
∴△ODC为等边三角形，有∠AOC=60°．
由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，
∴OC=1/2OA，∴OD/OA=1/2。
点评：本题考查了切线的性质和勾股定理以及直角三角形、菱形的性质，是一道综合题，要熟练掌握。