Question

如图，以⊙O上一点O₁为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O₁于D．CB交⊙O₁于E，AB与CO交于F．
求证：（1）AC•BC=CF²+AF•BF；
（2）∠CDB=∠CBD．

Answer 1

证明：（1）连接O₁A，O₁B，则O₁A=O₁B，
∴

O1A

=

O1B

，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO₁B，
∴△AFC∽△O₁BC，
∴

AC

O1C

=

CF

BC

，
∴AC•BC=O₁C•CF=（O₁F+CF）•CF=CF₂+O₁F•CF，
∵AF•BF=O₁F•CF，
∴AC•BC=CF₂+AF•BF；

（2）连接O₁D，则O₁D=O₁B=O₁A，
∴∠O₁DB=∠O₁BD，∠O₁DA=∠O₁AD，
∵∠O₁AD=∠CBO₁，
∴∠O₁DA=∠CBO₁，
∴∠O₁DA+∠O₁DB=∠O₁BD+∠CBO₁，即∠CDB=∠CBD．